Heston Model

### 概要 ヘストンモデル（Heston Model）は、Steven Hestonによって提案されたオプション価格評価のための数理モデルです。ブラック・ショールズモデルとは異なり、**ボラティリティ自体が時間と共に確率的に変動する**と仮定する確率的ボラティリティ（Stochastic Volatility, SV）モデルの代表的なものの一つです。 ### モデルの仮定 以下の二つの確率微分方程式で記述されます。 1. **原資産価格プロセス:** ボラティリティ√v(t)が時間変動します。 dS(t) = μS(t)dt + √v(t)S(t)dW1(t) 2. **分散プロセス:** 分散v(t)自体が、平均回帰性を持つとされる平方根拡散過程に従います。 dv(t) = κ(θ - v(t))dt + ξ√v(t)dW2(t) ここで、dW1とdW2は相関（ρ）を持つウィーナー過程です。この相関がレバレッジ効果などを捉えます。 ### 特徴と利点 - **ボラティリティスマイル/スキューの説明:** ボラティリティが確率的に変動し価格変動と相関するため、市場のスマイルやスキュー現象をブラック・ショールズモデルより良く説明できます。 - **（半）解析解の存在:** ヨーロピアンオプション価格について、フーリエ変換を用いた（半）解析的な解が存在し、効率的な計算が可能です。 ### 利用場面 - **オプション価格評価:** 特にスマイルが顕著な市場（株価指数、通貨など）での評価。 - **ボラティリティデリバティブ評価:** ボラティリティスワップなどの評価。 - **リスク管理:** ボラティリティリスク（ベガなど）の管理。 ヘストンモデルは、理論的扱いやすさと市場現象の説明能力のバランスが取れており、広く用いられています。